Coordinate Geometry: Where Numbers Meet Pictures 📊✨
Welcome to the bridge between algebra and geometry! Ever wondered how GPS knows exactly where you are, or how video games create smooth character movements? That's coordinate geometry at work—the magical system that turns numbers into pictures and pictures into numbers.
Imagine having a universal language that can describe any location, any movement, any shape with just pairs of numbers. Whether you're plotting a treasure map, designing a building, or programming a robot, coordinate geometry gives you the tools to translate between the world of calculations and the world of visual space.
Ready to master the art of mathematical mapping? Let's turn coordinates into clarity!
The Coordinate Plane: Your Mathematical Universe 🌍
The coordinate plane is like a city grid system—every location has a unique address made of two numbers.
Points & Coordinates 📍
Every point has an address (x, y). The x tells you how far left or right, the y tells you how far up or down from the origin (0,0).
The Four Quadrants 🧭
Quadrant I: (+,+) both positive
Quadrant II: (-,+) x negative, y positive
Quadrant III: (-,-) both negative
Quadrant IV: (+,-) x positive, y negative
Plotting Points 🎯
Start at origin (0,0). Move x units horizontally (right if positive, left if negative), then y units vertically (up if positive, down if negative).
Interactive Plotting Practice
Click on the grid to plot points and see their coordinates!
Watch Out! Order Matters
Always remember: (x, y) means "x first, then y." It's like reading an address—you need the street number before the street name. Mix these up and you'll end up in the wrong place!
Slope: The Language of Steepness ⛰️
Slope tells us how steep a line is and which direction it's going. It's the ratio of "rise over run."
Why This Works: The Rise Over Run Rule
Slope = (change in y) ÷ (change in x) = (y₂ - y₁) ÷ (x₂ - x₁). Think of climbing stairs—the slope tells you how much you go up (or down) for every step you take forward.
Positive Slope ↗️
Line goes up from left to right. Like climbing a hill—as x increases, y increases too.
Negative Slope ↘️
Line goes down from left to right. Like going downhill—as x increases, y decreases.
Zero Slope ➡️
Horizontal line. No matter how far you walk horizontally, your height stays the same.
Undefined Slope ⬆️
Vertical line. You can't walk forward at all—you can only go straight up or down.
Distance and Midpoint: Measuring Space
- Distance Formula: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] — It's just the Pythagorean theorem!
- Midpoint Formula: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) — Average the coordinates to find the exact middle.
Line Equations: Different Flavors, Same Line 📐
There are several ways to write the equation of a line. Each form is useful in different situations.
Slope-Intercept Form
y = mx + b
m = slope, b = y-intercept
Perfect when you know the slope and where the line crosses the y-axis.
Point-Slope Form
y - y₁ = m(x - x₁)
Great when you know one point and the slope. Most direct for writing equations quickly.
Standard Form
Ax + By = C
Useful for finding intercepts quickly and handling vertical lines (where B = 0).
Parallel and Perpendicular Lines
- Parallel lines: Same slope, different y-intercepts. They never meet, like railroad tracks.
- Perpendicular lines: Their slopes multiply to equal -1. One slope is the negative reciprocal of the other.
Watch Out! Perpendicular Slope Trick
If one line has slope 2/3, a perpendicular line has slope -3/2. Flip the fraction and change the sign! Special case: horizontal and vertical lines are always perpendicular.
Real-World Applications: Math in Action 🌟
Coordinate geometry isn't just classroom math—it powers the technology and systems we use every day.
Navigation & GPS 🛰️
Every location on Earth has coordinates (latitude, longitude). GPS calculates your position using distance measurements from satellites.
Computer Graphics 🎮
Video games use coordinates to track character positions and calculate movements, collisions, and animations in real-time.
Architecture & Design 🏗️
Architects use coordinate systems to create precise building plans and ensure structures are properly aligned and proportioned.
Sports Analytics 📊
Player positions, ball trajectories, and optimal strategies are all analyzed using coordinate geometry principles.
Motion and Physics Applications
- Position-Time Graphs: Slope represents velocity (speed and direction)
- Collision Detection: Calculate when two moving objects will meet
- Optimization: Find shortest paths and most efficient routes
Turning Confusion into Clarity 💡
Learning Win: Think of it like reading! In English, we read left to right (x-direction) before we read up and down (y-direction). The coordinate (3, 2) means "go 3 steps right, then 2 steps up" — just like reading a map where you find the column first, then the row.
Learning Win: Imagine walking from left to right along the line. With a positive slope, you're walking uphill. With a negative slope, you're walking downhill. The steeper the slope (bigger absolute value), the steeper your climb or descent!
Learning Win: Use the form that matches your given information! Know a point and slope? Use point-slope. Know the y-intercept and slope? Use slope-intercept. Need to find intercepts quickly? Use standard form. Don't overthink it — pick the one that makes your work easier!
Learning Win: Exactly right! Distance is always positive (or zero). That's why we use the square root in the distance formula — it ensures we get a positive result. Think of distance as "how far apart" two points are, which is always a positive measurement.
Interactive Learning Zone 🎯
📊 Quick Poll: What's the trickiest part of coordinate geometry for you?
Quiz 1: Coordinate Basics
1. What are the coordinates of a point that is 3 units right and 2 units down from the origin?
Quiz 2: Slope Understanding
2. A line passes through points (1, 2) and (3, 8). What is its slope?
Quiz 3: Line Equations
3. What is the equation of a line with slope 2 that passes through point (1, 3)?
Quiz 4: Fill in the Blanks
4. The distance between points (0, 0) and (3, 4) is units.
5. The midpoint between (2, 6) and (8, 2) is (, ).
Quiz 5: Parallel and Perpendicular
6. If one line has slope 1/2, a perpendicular line has slope -2.
Quiz 6: Quadrants
7. In which quadrant is the point (-5, 3) located?
Quiz 7: Real-World Application
8. A car's position is tracked on a coordinate plane. At time t=0, it's at (2, 1). At t=3 seconds, it's at (8, 7). What's the car's average speed?
Quiz 8: Slope Interpretation
9. A line with slope -1/3 is steeper than a line with slope 1/4.
Quiz 9: Challenge Problem
10. Two lines intersect at point (2, 5). One line has equation y = 3x - 1. What is the slope of a line perpendicular to this line?
Frequently Asked Questions 🤔
A: Different forms are tools for different jobs! Slope-intercept (y = mx + b) is great for graphing quickly. Point-slope form is perfect when you know a point and slope. Standard form (Ax + By = C) makes finding x and y intercepts easy. It's like having different types of screwdrivers — each one works best in specific situations.
A: GPS satellites broadcast their precise locations and the current time. Your GPS receiver measures how long signals take to arrive from multiple satellites. Using the distance formula and some advanced coordinate geometry, it calculates where you must be located for those distances to work out. It's like being at the intersection of multiple circles!
A: Slope includes direction (positive or negative), while steepness is just about how much the line climbs or falls. A slope of -3 and +3 have the same steepness (both very steep) but different directions. Steepness is measured by the absolute value of the slope.
A: No! That's the beauty of the coordinate system. Each pair of coordinates (x, y) corresponds to exactly one point on the plane. It's like having a unique address for every location. If two "points" had the same coordinates, they would actually be the same point.
A: Slope is rise over run (change in y over change in x). For a vertical line, the change in x is zero because you don't move horizontally at all. Since we can't divide by zero in mathematics, the slope is undefined. Think of it as "infinitely steep."
A: Video games constantly track character positions using coordinates. When you move your character, the game updates their (x, y) or (x, y, z) coordinates. It calculates distances for collision detection, uses slopes for projectile paths, and applies transformations for rotations and scaling. Every movement you see is coordinate geometry in action!
A: Coordinate geometry is where algebra becomes visual! Algebraic equations become graphs, and geometric shapes become equations. When you graph y = 2x + 3, you're translating an algebraic expression into a visual line. This connection helps us solve problems both algebraically and geometrically.
A: This comes from the geometric relationship between perpendicular lines. When you rotate a line 90°, its slope becomes the negative reciprocal of the original slope. This mathematical relationship ensures that the lines meet at exactly 90°, which is what "perpendicular" means.
A: Absolutely! In 3D coordinate geometry, we add a z-axis for depth, so points become (x, y, z). This is used in 3D modeling, computer graphics, architecture, and engineering. The same principles apply — distance formulas, midpoints, and equations — but now we're working in three-dimensional space.
A: Many! Engineers use it for design and analysis, architects for building plans, game developers for graphics programming, data scientists for visualizations, pilots and ship captains for navigation, urban planners for city layouts, and animators for creating smooth movements. Almost any field involving spatial relationships uses coordinate geometry.
Complete Coordinate Geometry Glossary 📚
Coordinates
A pair of numbers (x, y) that specify the exact location of a point on the coordinate plane.
Origin
The point (0, 0) where the x-axis and y-axis intersect; the starting point of the coordinate system.
Quadrant
One of the four regions created by the x and y axes. Each quadrant has unique sign patterns for coordinates.
Slope
The steepness and direction of a line, calculated as rise over run or (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).
Distance Formula
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] — calculates the straight-line distance between two points.
Midpoint
The point exactly halfway between two given points: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
Y-intercept
The point where a line crosses the y-axis; the y-coordinate when x = 0.
X-intercept
The point where a line crosses the x-axis; the x-coordinate when y = 0.
Positive Slope
A line that rises from left to right; as x increases, y increases.
Negative Slope
A line that falls from left to right; as x increases, y decreases.
Undefined Slope
The slope of a vertical line; cannot be calculated because division by zero is undefined.
Zero Slope
The slope of a horizontal line; the line has no rise, only run.
Parallel Lines
Lines with the same slope that never intersect; they maintain constant distance apart.
Perpendicular Lines
Lines that intersect at 90°; their slopes multiply to equal -1 (negative reciprocals).
Slope-Intercept Form
y = mx + b, where m is the slope and b is the y-intercept.
Point-Slope Form
y - y₁ = m(x - x₁), used when you know a point (x₁, y₁) and the slope m.
Standard Form
Ax + By = C, where A, B, and C are integers and A and B are not both zero.
Linear Equation
An equation whose graph is a straight line; variables have maximum power of 1.
Ordered Pair
A pair of numbers (x, y) where order matters; represents coordinates of a point.
Coordinate Plane
A two-dimensional plane formed by the intersection of perpendicular x and y axes.
निर्देशांक ज्यामिति: जहाँ संख्याएँ चित्र बन जाती हैं 📊✨
बीजगणित और ज्यामिति के बीच का पुल! GPS किसी स्थान का पता कैसे लगाता है या गेम में पात्र इतनी सहजता से कैसे चलते हैं — यह सब निर्देशांक ज्यामिति का कमाल है, जो संख्याओं को स्थान और चित्रों में बदल देती है।
हर स्थान का एक सार्वभौमिक पता होता है — संख्याओं की जोड़ी (x, y)। चाहे खज़ाने का नक्शा बनाना हो, इमारत डिज़ाइन करनी हो या रोबोट प्रोग्राम करना हो, निर्देशांक ज्यामिति गणना की दुनिया और दृश्य स्थान की दुनिया को जोड़ने के उपकरण देती है।
आइए सीखें कि निर्देशांक कैसे स्पष्टता में बदलते हैं!
निर्देशांक तल: आपका गणितीय ब्रह्माण्ड 🌍
निर्देशांक तल शहर की ग्रिड की तरह है — हर स्थान का एक अनोखा पता (x, y) होता है।
बिन्दु और निर्देशांक 📍
हर बिन्दु का पता (x, y) होता है। x बताता है मूलबिन्दु (0,0) से क्षैतिज दिशा में दाएँ/बाएँ कितनी दूर, और y बताता है ऊर्ध्व दिशा में ऊपर/नीचे कितनी दूर।
चार चतुर्थांश 🧭
चतुर्थांश I: (+,+) दोनों धनात्मक
चतुर्थांश II: (-,+) x ऋणात्मक, y धनात्मक
चतुर्थांश III: (-,-) दोनों ऋणात्मक
चतुर्थांश IV: (+,-) x धनात्मक, y ऋणात्मक
बिन्दु चिन्हित करना 🎯
पहले x के अनुसार क्षैतिज चलें (धनात्मक तो दाएँ, ऋणात्मक तो बाएँ), फिर y के अनुसार ऊर्ध्व दिशा में चलें (धनात्मक तो ऊपर, ऋणात्मक तो नीचे)।
ध्यान दें! क्रम बहुत जरूरी है
हमेशा (x, y) का अर्थ है — पहले x, फिर y। जैसे पते में पहले घर‑संख्या और फिर गली का नाम। क्रम बदलने पर बिन्दु बदल जाएगा।
ढाल (Slope): चढ़ाई‑उतराई की भाषा ⛰️
ढाल बताती है कि रेखा कितनी तीव्र है और किस दिशा में जा रही है — यह rise/run यानी Δy/Δx है।
क्यों सही है: Rise over Run नियम
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)। सीढ़ियाँ चढ़ने जितना सोचिए — हर क्षैतिज कदम (run) पर आप कितना ऊपर/नीचे (rise) जाते हैं, वही ढाल है।
धनात्मक ढाल ↗️
रेखा बाएँ से दाएँ जाते हुए ऊपर चढ़ती है — x बढ़ने पर y भी बढ़ता है।
ऋणात्मक ढाल ↘️
रेखा बाएँ से दाएँ जाते हुए नीचे उतरती है — x बढ़ने पर y घटता है।
शून्य ढाल ➡️
क्षैतिज रेखा — कितनी भी दूर चलें, ऊँचाई नहीं बदलती।
अनिर्धारित ढाल ⬆️
ऊर्ध्व रेखा — क्षैतिज चाल 0 होने से ढाल परिभाषित नहीं होती (शून्य से भाग नहीं कर सकते)।
दूरी और मध्यबिन्दु: मापना सीखें
- दूरी सूत्र: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] — यही पाइथागोरस प्रमेय है।
- मध्यबिन्दु सूत्र: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) — दोनों निर्देशांकों का औसत।
रेखा के समीकरण: कई रूप, वही रेखा 📐
रेखा के समीकरण लिखने के अलग‑अलग तरीके हैं; अलग परिस्थितियों में अलग रूप उपयोगी होता है।
ढाल–अव intercept रूप
y = mx + b
m = ढाल, b = y‑अव intercept। जब ढाल और y‑अव intercept ज्ञात हो।
बिन्दु–ढाल रूप
y − y₁ = m(x − x₁)
जब एक बिन्दु और ढाल ज्ञात हो — सबसे सीधा तरीका।
मानक रूप
Ax + By = C
इंटरसेप्ट जल्दी पाने तथा ऊर्ध्व रेखाओं के लिए उपयोगी।
समांतर और लम्बवत रेखाएँ
- समांतर: एक‑सी ढाल, y‑अव intercept अलग — कभी नहीं मिलतीं।
- लम्बवत: ढालों का गुणनफल −1; एक ढाल दूसरी का ऋणात्मक व्युत्क्रम (negative reciprocal) होती है।
टिप: लम्बवत ढाल तरकीब
यदि किसी रेखा की ढाल 2/3 है तो लम्बवत रेखा की ढाल −3/2 होगी — भिन्न उलटें और चिन्ह बदल दें। विशेष मामला: क्षैतिज और ऊर्ध्व रेखाएँ हमेशा लम्बवत होती हैं।
इंटरैक्टिव बिन्दु चिन्हित करने का अभ्यास
ग्रिड पर क्लिक करके बिन्दु चिन्हित करें और उनके निर्देशांक देखें!
वास्तविक जीवन में प्रयोग 🌟
निर्देशांक ज्यामिति केवल कक्षा का विषय नहीं — यह रोज़मर्रा की तकनीक को शक्ति देती है।
नेविगेशन एवं GPS 🛰️
धरती पर हर स्थान के निर्देशांक होते हैं (अक्षांश, देशांतर)। उपग्रहों से दूरी के आधार पर आपका स्थान निकाला जाता है।
कम्प्यूटर ग्राफ़िक्स 🎮
गेम में पात्रों की स्थिति, गति, टकराव और ऐनिमेशन — सब निर्देशांकों से नियंत्रित होते हैं।
आर्किटेक्चर एवं डिज़ाइन 🏗️
सटीक नक्शे और आयाम बनाए जाते हैं ताकि स्ट्रक्चर सही अनुपात और रेखांकन में हों।
खेल विश्लेषण 📊
खिलाड़ियों की स्थिति, गेंद की ट्रैजेक्टरी और रणनीति का विश्लेषण निर्देशांक सिद्धान्तों से होता है।
गति और भौतिकी में प्रयोग
- स्थिति-समय ग्राफ: ढाल वेग (गति और दिशा) दर्शाती है
- टकराव जाँच: दो गतिमान वस्तुओं के मिलने का समय निकालें
- अनुकूलन: सबसे छोटा रास्ता और कार्यक्षम मार्ग खोजें
भ्रम को स्पष्टता में बदलें 💡
सीखने की जीत: पढ़ने की तरह सोचिए! हिंदी में हम बाएँ से दाएँ (x-दिशा) पढ़ते हैं, फिर ऊपर-नीचे (y-दिशा)। निर्देशांक (3, 2) का अर्थ है "3 कदम दाएँ, फिर 2 कदम ऊपर" — जैसे नक्शे में पहले कॉलम, फिर पंक्ति ढूँढ़ते हैं।
सीखने की जीत: कल्पना कीजिए कि आप रेखा के साथ बाएँ से दाएँ चल रहे हैं। धनात्मक ढाल के साथ आप पहाड़ी चढ़ रहे हैं। ऋणात्मक ढाल के साथ आप पहाड़ी से उतर रहे हैं। जितनी तीव्र ढाल (बड़ा निरपेक्ष मान), उतनी तीव्र चढ़ाई या उतराई!
सीखने की जीत: वह रूप उपयोग करें जो आपकी दी गई जानकारी से मेल खाता हो! बिन्दु और ढाल जानते हैं? बिन्दु-ढाल रूप उपयोग करें। y-अव intercept और ढाल जानते हैं? ढाल-अव रूप। इंटरसेप्ट जल्दी चाहिए? मानक रूप। इसे ज्यादा न सोचें — वह चुनें जो आपका काम आसान बनाए!
सीखने की जीत: बिल्कुल सही! दूरी हमेशा धनात्मक (या शून्य) होती है। इसलिए दूरी सूत्र में वर्गमूल का उपयोग करते हैं — यह सुनिश्चित करता है कि हमें धनात्मक परिणाम मिले। दूरी को "दो बिन्दुओं के बीच कितनी दूर" के रूप में सोचें, जो हमेशा एक धनात्मक माप होता है।
प्रायः पूछे जाने वाले प्रश्न 🤔
समझ: जैसे तालिका पढ़ते समय पहले कॉलम और फिर पंक्ति देखते हैं, वैसे ही पहले क्षैतिज स्थिति (x) और फिर ऊर्ध्व स्थिति (y)।
समझ: ढाल = Δy/Δx, पर ऊर्ध्व रेखा में Δx = 0 होता है — शून्य से भाग असम्भव है, इसलिए ढाल अनिर्धारित।
समझ: बिन्दु व ढाल हों तो बिन्दु–ढाल रूप, ढाल व y‑अव intercept हों तो ढाल–अव रूप, इंटरसेप्ट चाहिए तो मानक रूप।
A: नहीं! यही निर्देशांक तंत्र की सुंदरता है। प्रत्येक निर्देशांक जोड़ी (x, y) तल पर ठीक एक बिन्दु से संबंधित होती है। यह हर स्थान के लिए एक अनोखा पता होने जैसा है। यदि दो "बिन्दुओं" के समान निर्देशांक होते, तो वे वास्तव में एक ही बिन्दु होते।
A: ढाल rise over run (y में परिवर्तन/x में परिवर्तन) है। ऊर्ध्व रेखा के लिए, x में परिवर्तन शून्य होता है क्योंकि आप क्षैतिज रूप से बिल्कुल नहीं चलते। चूंकि हम गणित में शून्य से भाग नहीं कर सकते, ढाल अनिर्धारित होती है। इसे "अनंत रूप से तीव्र" के रूप में सोचें।
A: वीडियो गेम लगातार निर्देशांकों का उपयोग करके पात्रों की स्थिति ट्रैक करते हैं। जब आप अपने पात्र को चलाते हैं, तो गेम उनके (x, y) या (x, y, z) निर्देशांक अपडेट करता है। यह टकराव जाँच के लिए दूरियों की गणना करता है, प्रक्षेप्य पथ के लिए ढाल का उपयोग करता है, और घूर्णन और स्केलिंग के लिए परिवर्तन लागू करता है। आप जो हर गति देखते हैं, वह निर्देशांक ज्यामिति का कार्य है!
A: निर्देशांक ज्यामिति वह जगह है जहाँ बीजगणित दृश्य बन जाता है! बीजगणितीय समीकरण ग्राफ बन जाते हैं, और ज्यामितीय आकार समीकरण बन जाते हैं। जब आप y = 2x + 3 का ग्राफ बनाते हैं, तो आप एक बीजगणितीय व्यंजक को दृश्य रेखा में अनुवाद कर रहे होते हैं। यह संबंध हमें समस्याओं को बीजगणितीय और ज्यामितीय दोनों तरीकों से हल करने में मदद करता है।
A: यह लम्बवत रेखाओं के बीच ज्यामितीय संबंध से आता है। जब आप किसी रेखा को 90° घुमाते हैं, तो उसकी ढाल मूल ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम बन जाती है। यह गणितीय संबंध सुनिश्चित करता है कि रेखाएँ ठीक 90° पर मिलें, जो "लम्बवत" का अर्थ है।
A: बिल्कुल! 3D निर्देशांक ज्यामिति में, हम गहराई के लिए z-अक्ष जोड़ते हैं, इसलिए बिन्दु (x, y, z) बन जाते हैं। यह 3D मॉडलिंग, कम्प्यूटर ग्राफ़िक्स, आर्किटेक्चर और इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है। वही सिद्धान्त लागू होते हैं — दूरी सूत्र, मध्यबिन्दु, और समीकरण — लेकिन अब हम त्रि-आयामी स्थान में काम कर रहे हैं।
A: बहुत से! इंजीनियर डिज़ाइन और विश्लेषण के लिए, आर्किटेक्ट भवन योजनाओं के लिए, गेम डेवलपर्स ग्राफ़िक्स प्रोग्रामिंग के लिए, डेटा वैज्ञानिक विज़ुअलाइज़ेशन के लिए, पायलट और जहाज़ के कप्तान नेविगेशन के लिए, शहरी योजनाकार शहर के लेआउट के लिए, और एनिमेटर सहज गतियों बनाने के लिए। लगभग कोई भी क्षेत्र जो स्थानिक संबंधों से संबंधित है, निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करता है।
इंटरैक्टिव सीखने का क्षेत्र 🎯
📊 त्वरित सर्वेक्षण: निर्देशांक ज्यामिति का कौन-सा भाग आपको सबसे कठिन लगता है?
प्रश्नोत्तरी 1: निर्देशांक मूल बातें
1. मूलबिन्दु से 3 इकाई दाएँ और 2 इकाई नीचे स्थित बिन्दु के निर्देशांक क्या हैं?
प्रश्नोत्तरी 2: ढाल समझना
2. एक रेखा बिन्दुओं (1, 2) और (3, 8) से होकर जाती है। उसकी ढाल क्या है?
प्रश्नोत्तरी 3: रेखा के समीकरण
3. ढाल 2 वाली रेखा जो बिन्दु (1, 3) से होकर जाती है, उसका समीकरण क्या है?
प्रश्नोत्तरी 4: रिक्त स्थान भरें
4. बिन्दुओं (0, 0) और (3, 4) के बीच की दूरी इकाई है।
5. बिन्दुओं (2, 6) और (8, 2) के बीच का मध्यबिन्दु (, ) है।
प्रश्नोत्तरी 5: समांतर और लम्बवत
6. यदि किसी रेखा की ढाल 1/2 है, तो लम्बवत रेखा की ढाल -2 है।
प्रश्नोत्तरी 6: चतुर्थांश
7. बिन्दु (-5, 3) किस चतुर्थांश में स्थित है?
प्रश्नोत्तरी 7: वास्तविक जीवन में प्रयोग
8. एक कार की स्थिति निर्देशांक तल पर ट्रैक की जाती है। समय t=0 पर वह (2, 1) पर है। t=3 सेकंड पर वह (8, 7) पर है। कार की औसत गति क्या है?
प्रश्नोत्तरी 8: ढाल की व्याख्या
9. ढाल -1/3 वाली रेखा, ढाल 1/4 वाली रेखा से अधिक तीव्र है।
प्रश्नोत्तरी 9: चुनौती प्रश्न
10. दो रेखाएँ बिन्दु (2, 5) पर मिलती हैं। एक रेखा का समीकरण y = 3x - 1 है। इस रेखा के लम्बवत रेखा की ढाल क्या है?
पूर्ण निर्देशांक ज्यामिति शब्दकोश 📚
निर्देशांक
संख्याओं की जोड़ी (x, y) जो निर्देशांक तल पर किसी बिन्दु की सटीक स्थिति बताती है।
मूलबिन्दु
बिन्दु (0, 0) जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष मिलते हैं; निर्देशांक तंत्र का प्रारंभिक बिन्दु।
चतुर्थांश
x और y अक्षों द्वारा बनाए गए चार क्षेत्रों में से एक। प्रत्येक चतुर्थांश में निर्देशांकों के अलग चिन्ह होते हैं।
ढाल
रेखा की तीव्रता और दिशा, जो rise over run या (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) के रूप में गणना की जाती है।
दूरी सूत्र
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] — दो बिन्दुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी की गणना करता है।
मध्यबिन्दु
दो दिए गए बिन्दुओं के बीच का बिन्दु: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)।
Y-अव intercept
वह बिन्दु जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है; x = 0 होने पर y-निर्देशांक।
X-अव intercept
वह बिन्दु जहाँ रेखा x-अक्ष को काटती है; y = 0 होने पर x-निर्देशांक।
धनात्मक ढाल
एक रेखा जो बाएँ से दाएँ जाते हुए ऊपर चढ़ती है; x बढ़ने पर y भी बढ़ता है।
ऋणात्मक ढाल
एक रेखा जो बाएँ से दाएँ जाते हुए नीचे उतरती है; x बढ़ने पर y घटता है।
अनिर्धारित ढाल
ऊर्ध्व रेखा की ढाल; शून्य से भाग नहीं कर सकते इसलिए गणना नहीं की जा सकती।
शून्य ढाल
क्षैतिज रेखा की ढाल; रेखा में कोई rise नहीं, केवल run होता है।
समांतर रेखाएँ
एक-सी ढाल वाली रेखाएँ जो कभी नहीं मिलतीं; वे निरंतर समान दूरी बनाए रखती हैं।
लम्बवत रेखाएँ
रेखाएँ जो 90° पर मिलती हैं; उनकी ढालें -1 के बराबर होती हैं (ऋणात्मक व्युत्क्रम)।
ढाल-अव intercept रूप
y = mx + b, जहाँ m ढाल है और b y-अव intercept है।
बिन्दु-ढाल रूप
y - y₁ = m(x - x₁), जब आप एक बिन्दु (x₁, y₁) और ढाल m जानते हैं।
मानक रूप
Ax + By = C, जहाँ A, B, और C पूर्णांक हैं और A और B दोनों शून्य नहीं हैं।
रैखिक समीकरण
एक समीकरण जिसका ग्राफ सीधी रेखा है; चरों की अधिकतम घात 1 होती है।
क्रमित युग्म
संख्याओं की जोड़ी (x, y) जहाँ क्रम महत्वपूर्ण है; किसी बिन्दु के निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करता है।
निर्देशांक तल
लम्बवत x और y अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा बनाया गया द्वि-आयामी तल।